Priorwahl1

fat-tails

distributions

Published

December 9, 2022

Exercise

Ei Forschi wählt für ein Regressionsmodell \(\beta \sim \mathcal{N}(0,500)\) (Priori), wobei die empirischen Variablen z-standardisiert sind. Beziehen Sie Stellung zu diesem Prior.

Solution

Die Priori-Verteilung ist nicht sinnvoll spezifiziert. Die Streuung der Normalverteilung ist so groß, dass sie fast schon uniform verteilt ist. Dieser Priori-Verteilung nimmt z.B. an, \(Pr(|\beta| < 250) < Pr(|\beta| > 250)\), was eine sehr wilde Vorstellung ist. Man könnte sagen: Die Verteilung nimmt an, dass es wahrscheinlicher ist, dass ihr bester Freund 100 Millionen Lichtjahre entfernt lebt, als dass er näher als diese Distanz bei Ihnen lebt.

Weitere Hinweise hier

Zur Verdeutlichung: Wie wahrscheinlich ist \(z=1,2,...,10\) bei einer Normalverteilung zu betrachten?

(Zur Erinnerung: Ein z-Wert gibt den Abstand vom Mittelwert in SD-Einheiten an.)

Für \(q=1\) beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Wert nicht höher als \(z=1\) etwa 84%:

pnorm(q = 1) # z = 1

[1] 0.8413447

Allgemeiner:

options(digits = 20)  # Mehr Nachkommastellen
pnorm(q = 1:10)  # von z=1 bis z=10

 [1] 0.84134474606854292578 0.97724986805182079141 0.99865010196836989653
 [4] 0.99996832875816688002 0.99999971334842807646 0.99999999901341229958
 [7] 0.99999999999872013490 0.99999999999999933387 1.00000000000000000000
[10] 1.00000000000000000000

Die Wahrscheinlichkeiten für Sigma-Ereignisse bis zu ±7 finden sich z.B. hier.

options(digits = 2)

Vertiefung:

Nassim Taleb hat dieses Argument in seinem Buch “Statistical Consequences of Fat Tails” aufgegriffen (ein anspruchsvolles Buch). Hier finden Sie eine interessante Darstellung eines Arguments daraus.

Categories:

fat-tails
distributions

---
extype: string
exsolution: NA
exname: priorwahl1
expoints: 1
categories:
- fat-tails
- distributions
date: '2022-12-09'
slug: Priorwahl1
title: Priorwahl1

---



```{r libs, include = FALSE}
library(tidyverse)
```


```{r global-knitr-options, include=FALSE}
knitr::opts_chunk$set(fig.pos = 'H',
                      fig.asp = 0.618,
                      fig.width = 4,
                      fig.cap = "", 
                      fig.path = "",
                      message = FALSE,
                      warning = FALSE,
                      # out.width = "100%",
                      cache = TRUE)
```








# Exercise

Ei Forschi wählt für ein Regressionsmodell $\beta \sim \mathcal{N}(0,500)$ (Priori),
wobei die empirischen Variablen z-standardisiert sind.
Beziehen Sie Stellung zu diesem Prior.


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# Solution

Die Priori-Verteilung  ist nicht sinnvoll spezifiziert.
Die Streuung der Normalverteilung ist so groß, 
dass sie fast schon uniform verteilt ist.
Dieser Priori-Verteilung nimmt z.B. an, $Pr(|\beta| < 250) < Pr(|\beta| > 250)$,
was eine sehr wilde Vorstellung ist.
Man könnte sagen: Die Verteilung nimmt an, 
dass es wahrscheinlicher ist, dass ihr bester Freund 100 Millionen Lichtjahre entfernt lebt, 
als dass er näher als diese Distanz bei Ihnen lebt.

[Weitere Hinweise hier](https://mc-stan.org/rstanarm/articles/priors.html#how-to-specify-flat-priors-and-why-you-typically-shouldn-t-)


*Zur Verdeutlichung*: Wie wahrscheinlich ist $z=1,2,...,10$ bei einer Normalverteilung zu betrachten?

(Zur Erinnerung: Ein z-Wert gibt den Abstand vom Mittelwert in SD-Einheiten an.)

Für $q=1$ beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Wert nicht höher als $z=1$ etwa 84%:

```{r}
pnorm(q = 1) # z = 1
```



Allgemeiner:
```{r}
options(digits = 20)  # Mehr Nachkommastellen
pnorm(q = 1:10)  # von z=1 bis z=10
```
Die Wahrscheinlichkeiten für Sigma-Ereignisse bis zu ±7 finden sich z.B. [hier](https://en.wikipedia.org/wiki/68%E2%80%9395%E2%80%9399.7_rule).


```{r}
options(digits = 2)
```



*Vertiefung*:


Nassim Taleb hat dieses Argument in seinem Buch "Statistical Consequences of Fat Tails" aufgegriffen (ein anspruchsvolles Buch). [Hier](https://www.johndcook.com/blog/2018/05/31/six-sigma-events/) finden Sie eine interessante Darstellung eines Arguments daraus. 




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Categories: 

- fat-tails
- distributions