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probability

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Published

November 27, 2024

1 Aufgabe

Gegeben sei

\(x \sim \text{Exp}(1)\).

Gesucht ist folgendes Quantil: 95 %.

Nutzen Sie die Tabelle der Exponentialverteilung, um das Quantil zu bestimmen.

rate	2.5 %	5 %	50 %	95 %	97.5 %
1.00	0.03	0.05	0.69	3.00	3.69
2.00	0.01	0.03	0.35	1.50	1.84
4.00	0.01	0.01	0.17	0.75	0.92
8.00	0.00	0.01	0.09	0.37	0.46
0.50	0.05	0.10	1.39	5.99	7.38
0.25	0.10	0.21	2.77	11.98	14.76
0.12	0.20	0.41	5.55	23.97	29.51

2 Lösung

Das 95 % Quantil der Exponentialverteilung mit \(\lambda = 1\) beträgt 3.

Hier ist eine Visualisierung der Exponentialverteilung mit \(\lambda = 1\) und dem 95 % Quantil.

---
# gleich diese Datei in einem Ordner mit Namen der Aufgabe abspeichern!
date: 2024-11-27
draft: FALSE   # ACHTUNG DRAFT STEHT AUF TRUE!
title: exp-tab  # HIER TITEL DES POSTS EINGEBEN.
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number-sections: true
extype: string
exsolution: ""
exshuffle: no
categories:
- distributions  # ENTER CATEGORIES HERE
- probability
- paper


bibliography: "../../library-ses.bib"

knitr:
  opts_chunk:
    out.width: "75%"

---



```{r}
#| echo: false

lambda <- 1
q <- 95
```

```{r}
#| include: false
library(tidyverse)
```




# Aufgabe 

Gegeben sei

$x \sim \text{Exp}(`r lambda`)$.

Gesucht ist folgendes Quantil: `r q` %.

Nutzen Sie die Tabelle der Exponentialverteilung, um das Quantil zu bestimmen.



```{r}
#| echo: false
# Define the quantiles
probs <- c(0.025, 0.05, 0.5, 0.95, 0.975)

# Define the rate parameters
rates <- c(1, 2, 4, 8, 1/2, 1/4, 1/8)

# Create a matrix to store the results
quantiles <- matrix(nrow = length(rates), ncol = length(probs))
rownames(quantiles) <- paste("rate =", rates)
colnames(quantiles) <- paste(probs * 100, "%")

# Calculate the quantiles for each rate parameter
for (i in 1:length(rates)) {
  quantiles[i, ] <- qexp(probs, rate = rates[i])
}

quantiles_df <- 
  as.data.frame(quantiles) |> 
  rownames_to_column(var = "rate")  |> 
  mutate(rate = rates)

quantiles_df_rounded <-
  quantiles_df |>
  round(2)

# Print the table of quantiles
quantiles_df_rounded
```


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# Lösung 


Das `r q` % Quantil der Exponentialverteilung mit $\lambda = `r lambda`$ beträgt `r round(qexp(q/100, rate = lambda), 2)`.

Hier ist eine Visualisierung der Exponentialverteilung mit $\lambda = `r lambda`$ und dem `r q` % Quantil.



```{r}
#| echo: false
library(teacherplot)
exp_plot(r = lambda, max = 5)
```