genial

bayes

probability

num

bayesbox

Published

December 6, 2024

Aufgabe

Wissenschaft! Vielleicht das wichtigste Projekt der Menschheit, deht es doch um die Loslöung von “Du musst das glauben, weil ich das sage” hinzu “Ich glaube das, weil ich es verstehe”.

Sei 1% aller Studien der Wissenschaft “genial”. Ein Gutachter prüft eine wissenschaftliche Studie und erkennt 90% der genialen Studien als solche. Nach der Prüfung der Studie ist der Gutachter überzeugt, dass die Studie genial ist.

Aufgabe: Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Studie wirklich genial ist.

Lösung

Gegeben ist:

Pr_g <- 0.01  # Anteil genialer Studien/ Wskt einer *g*enialen Studie
Pr_t_geg_g <- 0.9  # Wskt, dass eine Studie als genial getestet wird gegeben, dass sie genial ist

Hier kann man Bayes Theorem anwenden:

$Pr(g|t) = \frac{Pr(g) \cdot Pr(t|g) }{Pr(t)}$.

Berechnen wir zuerst den Zähler von Bayes’ Theorem:

zaehler_bayes <- Pr_g * Pr_t_geg_g
zaehler_bayes

[1] 0.009

Dann den Nenner:

nenner_bayes <- (zaehler_bayes + (1-Pr_g) * (1-Pr_t_geg_g))
nenner_bayes

[1] 0.108

Dann berechnen wir den Wert des Bruchs, indem wir den Zähler durch den Nenner teilen:

sol <- zaehler_bayes / nenner_bayes
sol

[1] 0.08333333

Die Lösung beträgt also: 0.08.

Hier ist ein Baumdiagramm zur Visualisierung:

Man kann die Aufgabe auch mit dem Baumdiagramm lösen:

Es erhalten 108=99+9 Studien ein positives Testergebnis: “geniale Studie!” Davon sind 9 tatsächlich genial. Das ist ist ei Anteil von $\frac{9}{108} = 0.0833$.

Also: $Pr(g|t) = \frac{9}{108} = 0.0833$.

Alternativ kann man auch mit der Bayesbox arbeiten:

Hypothese	Prior	Likelihood	Post_unstand	Evidenz	Post
genial	.01	.9	.009	.108	.083
nichtgenial	.99	.1	.099	.108	.092

K: Krebs

Die Likelihood für die Hypothese $g$ (die Hypothese, dass die Studie genail) ist definiert als $Pr(D|H)=.9$. Hier entspricht der positive Genialitätstest den Daten.

Die unstandardisierte Post-Wahrscheinlichkeit entspricht dem Produkt aus Likelihood und Prior: $Pr(D|H) \cdot Pr(H)=.009$ bzw. $.099$.

Die Evidenz ist die Summe der Posterior-Wahrscheinlichkeiten multipliziert mit den jeweiligen Priors: $Pr(D)=.108$.

Die Post-Wahrscheinlichkeit ist die durch die Evidenz dividierte unstandardisierte Post-Wahrscheinlichkeit: $Pr(H|D)=.083$ bzw. $.092$.

Categories:

bayes
probability
num

--- extype: num exsolution: r sol exname: genial expoints: 1 categories: - bayes - probability - num - bayesbox date: '2024-12-06' title: genial format: html: mermaid-format: png --- ```{r libs, include = FALSE} library(tidyverse) library(exams) ``` ```{r global-knitr-options, include=FALSE} knitr::opts_chunk$set(fig.pos = 'H', fig.asp = 0.618, fig.width = 4, fig.cap = "", fig.path = "", echo = TRUE, message = FALSE, warning = FALSE, fig.show = "hold", # out.width = "100%", cache = TRUE) ``` # Aufgabe Wissenschaft! Vielleicht das wichtigste Projekt der Menschheit, deht es doch um die Loslöung von "Du musst das glauben, weil ich das sage" hinzu "Ich glaube das, weil ich es verstehe". Sei 1% aller Studien der Wissenschaft "genial". Ein Gutachter prüft eine wissenschaftliche Studie und erkennt 90% der genialen Studien als solche. Nach der Prüfung der Studie ist der Gutachter überzeugt, dass die Studie genial ist. *Aufgabe*: Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Studie wirklich genial ist. # Lösung Gegeben ist: ```{r} Pr_g <- 0.01 # Anteil genialer Studien/ Wskt einer *g*enialen Studie Pr_t_geg_g <- 0.9 # Wskt, dass eine Studie als genial getestet wird gegeben, dass sie genial ist ``` Hier kann man Bayes Theorem anwenden: $Pr(g|t) = \frac{Pr(g) \cdot Pr(t|g) }{Pr(t)}$. Berechnen wir zuerst den Zähler von Bayes' Theorem: ```{r zaehler} zaehler_bayes <- Pr_g * Pr_t_geg_g zaehler_bayes ``` Dann den Nenner: ```{r nenner,echo = TRUE} nenner_bayes <- (zaehler_bayes + (1-Pr_g) * (1-Pr_t_geg_g)) nenner_bayes ``` Dann berechnen wir den Wert des Bruchs, indem wir den Zähler durch den Nenner teilen: ```{r} sol <- zaehler_bayes / nenner_bayes sol ``` Die Lösung beträgt also: ``r round(sol, 2)``. Hier ist ein Baumdiagramm zur Visualisierung: ```{mermaid} flowchart LR S[1000 Studien] --> K[genail: 10] S --> NK[nicht genial: 990] K --> T[Test positiv: 9] K --> NT[Nicht Test positiv: 1] NK --> TNK[Test positiv: 99] NK --> NTNK[Nicht Test positiv: 891] ``` Man kann die Aufgabe auch mit dem Baumdiagramm lösen: Es erhalten 108=99+9 Studien ein positives Testergebnis: "geniale Studie!" Davon sind 9 tatsächlich genial. Das ist ist ei Anteil von $\frac{9}{108} = 0.0833$. Also: $Pr(g|t) = \frac{9}{108} = 0.0833$. Alternativ kann man auch mit der Bayesbox arbeiten: | Hypothese | Prior | Likelihood | Post_unstand | Evidenz | Post | |----------- |------- |------------ |-------------- |--------- |------ | | genial | .01 | .9 | .009 | .108 | .083 | | nichtgenial | .99 | .1 | .099 | .108 | .092 | K: Krebs Die Likelihood für die Hypothese $g$ (die Hypothese, dass die Studie genail) ist definiert als $Pr(D|H)=.9$. Hier entspricht der positive Genialitätstest den Daten. Die unstandardisierte Post-Wahrscheinlichkeit entspricht dem Produkt aus Likelihood und Prior: $Pr(D|H) \cdot Pr(H)=.009$ bzw. $.099$. Die Evidenz ist die Summe der Posterior-Wahrscheinlichkeiten multipliziert mit den jeweiligen Priors: $Pr(D)=.108$. Die Post-Wahrscheinlichkeit ist die durch die Evidenz dividierte unstandardisierte Post-Wahrscheinlichkeit: $Pr(H|D)=.083$ bzw. $.092$. --- Categories: - bayes - probability - num