globus1

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probability

distributions

Published

November 3, 2024

1 Aufgabe

Wir werfen einen Globus \(n=9\) Mal und erzielen \(W=6\) mal das Ereignis “Wasser”.

Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass wir bei \(n=9\) Würfen \(W=6\) mal das Ereignis “Wasser” erzielen, wenn wir von einer Wasseranteil, d.h. Wahrscheinlichkeit von \(\pi=.7\) ausgehen?

2 Lösung

W <- 6
n <- 9
pi <- .7

Wir können R die Arbeit machen lassen:

Listing 1: Binomialverteilung mit R

loesung <- dbinom(x = W, size = n, prob = pi)
loesung

[1] 0.2668279

\[Pr(W=6 | \pi=0.7, n=9) = ?\]

Oder den Taschenrechner nutzen:

loesung <- choose(n,W) * pi^W * (1-pi)^(n-W)
loesung

[1] 0.2668279

Die Harten unter uns rechnen es per Hand aus:

loesung <- factorial(n) / (factorial(W) * factorial(n-W)) * pi^W * (1-pi)^(n-W)

loesung

[1] 0.2668279

factorial(W) liefert die Fakultät von \(W\) zurück.

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date: 2024-11-03
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title: globus1  # HIER TITEL DES POSTS EINGEBEN.
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- bayes  # ENTER CATEGORIES HERE
- probability
- distributions

bibliography: "../../library-ses.bib"


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# Aufgabe 

Wir werfen einen Globus $n=9$ Mal und erzielen $W=6$ mal das Ereignis "Wasser".

Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass wir bei $n=9$ Würfen $W=6$ mal das Ereignis "Wasser" erzielen, 
wenn wir von einer Wasseranteil, d.h. Wahrscheinlichkeit von $\pi=.7$ ausgehen?

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# Lösung 

Hier sind die gegebenen Werte:


```{r}
W <- 6
n <- 9
pi <- .7
```

Wir suchen also diese Größe:

$$Pr(W=`r W` | \pi=`r pi`, n=`r n`) = ?$$




Wir können R die Arbeit machen lassen:

```{r QM2-Thema2-kleineModelle-21a, echo = TRUE}
#| lst-cap: "Binomialverteilung mit R "
#| lst-label: lst-dbinom1
loesung <- dbinom(x = W, size = n, prob = pi)
loesung
```




Oder den Taschenrechner nutzen:


```{r}
loesung <- choose(n,W) * pi^W * (1-pi)^(n-W)
loesung
```


Die Harten unter uns rechnen es per Hand aus.

Dafür kann man zunächst die Anzahl der Pfade mit dem Binomialkoeffizienten berechnen:


```{r}
anzahl_pfade <- factorial(n) / (factorial(W) * factorial(n-W))
anzahl_pfade
```

`factorial(W)` liefert die Fakultät von $W$ zurück.


Dann berechnet man die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Pfades:

```{r}
pfad_wskt <-  pi^W * (1-pi)^(n-W)
pfad_wskt
```

Multipliziert man die beiden vorherigen Zwischenergebnisse, 
so erhält man die Lösung:

```{r}
loesung <-  anzahl_pfade * pfad_wskt
loesung
```