iq01

probability

simulation

normal-distribution

exam-22

num

Published

November 8, 2023

Aufgabe

Intelligenz wird häufig mittels einem IQ-Test ermittelt. Ab einem Testwert von 130 Punkten nennt man die getestete Person hochbegabt.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die nächste Person, die Sie treffen, ~~hochbetagt~~hochbegabt ist? Geben Sie die Wahrscheinlichkeit (als Anteil) an.

Hinweise:

Nutzen Sie Simulationsmethoden.
Gehen Sie von folgender IQ-Verteilung aus: \(IQ \sim N(100,15)\).
Geben Sie Anteile oder Wahrscheinlichkeiten stets mit zwei Dezimalstellen an (sofern nicht anders verlangt).
Simulieren Sie \(n=10^3\) Stichproben.
Nutzen Sie die Zahl 42 als Startwert für Ihre Zufallszahlen (um die Reproduzierbarkeit zu gewährleisten).
Wir wollen hier keine Post-Verteilung berechnen, sondern lediglich Werte simulieren.
Geben Sie keine Prozentzahlen, sondern stets Anteile an.

Lösung

library(tidyverse)

Wir simulieren die Daten:

set.seed(42)  # Reproduzierbarkeit
d <- tibble(
  id = 1:10^3,  # Der Doppelpunkt heißt "bis", also "von 1 bis 10 hoch 3". Diese Spalte ist nicht so wichtig.
  iq = rnorm(n = 10^3, mean = 100, sd = 15))

head(d)  # Die ersten paar Zeilen

# A tibble: 6 × 2
     id    iq
  <int> <dbl>
1     1 121. 
2     2  91.5
3     3 105. 
4     4 109. 
5     5 106. 
6     6  98.4

Wir filtern wie in der Angabe gewünscht:

d %>% 
  count(iq >= 130)

# A tibble: 2 × 2
  `iq >= 130`     n
  <lgl>       <int>
1 FALSE         979
2 TRUE           21

Ca. 20 von 1000 Personen erfüllen diese Bedingung (IQ >= 130).

Genau genommen:

21/1000

[1] 0.021

Lösung: Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt ca. 2% bzw. 0.02.

Categories:

probability
simulation
normal-distribution
exam-22
num

---
exname: iq01
extype: num
exsolution: 0.02
exshuffle: no
extol: 0.02
expoints: 1
categories:
- probability
- simulation
- normal-distribution
- exam-22
- num
date: '2023-11-08'
slug: iq01
title: iq01

---


  



```{r global-knitr-options, include=FALSE}
knitr::opts_chunk$set(fig.pos = 'H',
                      fig.asp = 0.618,
                      fig.width = 4,
                      fig.cap = "", 
                      fig.path = "",
                      echo = TRUE, 
                      message = FALSE,
                      fig.show = "hold")
```







# Aufgabe

Intelligenz wird häufig mittels einem *IQ-Test* ermittelt.
Ab einem Testwert von 130 Punkten nennt man die getestete Person *hochbegabt*.

*Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die nächste Person, die Sie treffen, ~~hochbetagt~~hochbegabt ist? Geben Sie die Wahrscheinlichkeit (als Anteil) an.*

Hinweise:

- Nutzen Sie Simulationsmethoden.
- Gehen Sie von folgender IQ-Verteilung aus: $IQ \sim N(100,15)$.
- Geben Sie Anteile oder Wahrscheinlichkeiten stets mit zwei Dezimalstellen an (sofern nicht anders verlangt).
- Simulieren Sie $n=10^3$ Stichproben.
- Nutzen Sie die Zahl 42 als Startwert für Ihre Zufallszahlen (um die Reproduzierbarkeit zu gewährleisten).
- Wir wollen hier keine Post-Verteilung berechnen, sondern lediglich Werte simulieren.
- Geben Sie keine Prozentzahlen, sondern stets Anteile an.



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# Lösung


```{r}
library(tidyverse)
```

Wir simulieren die Daten:

```{r}
set.seed(42)  # Reproduzierbarkeit
d <- tibble(
  id = 1:10^3,  # Der Doppelpunkt heißt "bis", also "von 1 bis 10 hoch 3". Diese Spalte ist nicht so wichtig.
  iq = rnorm(n = 10^3, mean = 100, sd = 15))

head(d)  # Die ersten paar Zeilen
```


Wir filtern wie in der Angabe gewünscht:

```{r}
d %>% 
  count(iq >= 130)
```


Ca. 20 von 1000 Personen erfüllen diese Bedingung (IQ >= 130).

Genau genommen: 

```{r}
21/1000
```


Lösung: Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt ca. 2% bzw. 0.02.



```{r echo = FALSE}
sol <- d %>% 
  filter(iq >= 130) %>% 
  nrow() / 1000
sol <- round(sol, 2)
```






---

Categories: 

- probability
- simulation
- normal-distribution
- exam-22
- num