iq07

probability

simulation

normal-distribution

num

Published

November 8, 2023

Aufgabe

Intelligenz wird häufig mittels einem IQ-Test ermittelt.

In einer Population gebe es zwei Subgruppen, für die gilt:

$IQ_1 \sim N(85, 15)$ $IQ_2 \sim N(115, 15)$

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig gezogene Person einen IQ-Wert von mind. 115 Punkten hat?

Hinweise:

Nutzen Sie Simulationsmethoden.
Gehen Sie von folgender IQ-Verteilung aus: $IQ \sim N(100,15)$
Geben Sie Anteile oder Wahrscheinlichkeiten stets mit zwei Dezimalstellen an (sofern nicht anders verlangt).
Simulieren Sie $n=10^3$ Stichproben pro Subpopulation.
Nutzen Sie die Zahl 42 als Startwert für Ihre Zufallszahlen (um die Reproduzierbarkeit zu gewährleisten)

Lösung

library(tidyverse)

Wir simulieren die Daten; Subpopulation 1:

set.seed(42)

d1 <- tibble(
  id = 1:10^3,
  iq = rnorm(n = 10^3, mean = 85, sd = 15))

Subpopulation 2:

set.seed(42)

d2 <- tibble(
  id = 1:10^3,
  iq = rnorm(n = 10^3, mean = 115, sd = 15))

Dann kombinieren wir die Daten zu einer Tabelle:

d <-
  d1 %>% 
  bind_rows(d2)

Dann filtern wir wie in der Angabe gefragt:

solution_d <-
  d %>% 
  count(iq > 115) %>% 
  mutate(prop = n / sum(n))

solution_d

# A tibble: 2 × 3
  `iq > 115`     n  prop
  <lgl>      <int> <dbl>
1 FALSE       1494 0.747
2 TRUE         506 0.253

Die Lösung lautet also 0.253.

Wenn Sie die Zufallszahlen mit set.seed fixiert haben, sollten Sie den exakt gleichen Wert gefunden haben.

Interessant ist es vielleicht, die Gesamtpopulation zu visualisieren:

ggplot(d) +
  aes(x = iq) +
  geom_density()

Im Vergleich dazu eine Normalverteilung mit MW=100 und SD=15:

Wir sehen, dass unsere Population über eine (deutlich) höhere Streuung verfügt:

d %>% 
  summarise(sd(iq))

# A tibble: 1 × 1
  `sd(iq)`
     <dbl>
1     21.2

Categories:

probability
simulation
normal-distribution
num

--- exname: iq07 extype: num exsolution: r solution exshuffle: no extol: 0.03 expoints: 1 categories: - probability - simulation - normal-distribution - num date: '2023-11-08' slug: iq07 title: iq07 --- ```{r global-knitr-options, include=FALSE} knitr::opts_chunk$set(fig.pos = 'H', fig.asp = 0.618, fig.width = 4, fig.cap = "", fig.path = "", echo = TRUE, message = FALSE, fig.show = "hold") ``` # Aufgabe Intelligenz wird häufig mittels einem *IQ-Test* ermittelt. In einer Population gebe es zwei Subgruppen, für die gilt: $IQ_1 \sim N(85, 15)$ $IQ_2 \sim N(115, 15)$ *Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig gezogene Person einen IQ-Wert von mind. 115 Punkten hat?* Hinweise: - Nutzen Sie Simulationsmethoden. - Gehen Sie von folgender IQ-Verteilung aus: $IQ \sim N(100,15)$ - Geben Sie Anteile oder Wahrscheinlichkeiten stets mit zwei Dezimalstellen an (sofern nicht anders verlangt). - Simulieren Sie $n=10^3$ Stichproben pro Subpopulation. - Nutzen Sie die Zahl 42 als Startwert für Ihre Zufallszahlen (um die Reproduzierbarkeit zu gewährleisten) # Lösung ```{r} library(tidyverse) ``` Wir simulieren die Daten; Subpopulation 1: ```{r} set.seed(42) d1 <- tibble( id = 1:10^3, iq = rnorm(n = 10^3, mean = 85, sd = 15)) ``` Subpopulation 2: ```{r} set.seed(42) d2 <- tibble( id = 1:10^3, iq = rnorm(n = 10^3, mean = 115, sd = 15)) ``` Dann kombinieren wir die Daten zu einer Tabelle: ```{r} d <- d1 %>% bind_rows(d2) ``` Dann filtern wir wie in der Angabe gefragt: ```{r} solution_d <- d %>% count(iq > 115) %>% mutate(prop = n / sum(n)) solution_d ``` ```{r echo= FALSE} solution <- solution_d %>% pull(prop) %>% magrittr::extract(2) ``` Die Lösung lautet also `r solution`. Wenn Sie die Zufallszahlen mit `set.seed` fixiert haben, sollten Sie den exakt gleichen Wert gefunden haben. Interessant ist es vielleicht, die Gesamtpopulation zu visualisieren: ```{r} ggplot(d) + aes(x = iq) + geom_density() ``` Im Vergleich dazu eine Normalverteilung mit MW=100 und SD=15: ```{r echo = FALSE} ggplot(d) + aes(x = iq) + geom_density() + stat_function(fun = dnorm, args = list(mean = 100, sd= 15), color = "red") ``` Wir sehen, dass unsere Population über eine (deutlich) höhere Streuung verfügt: ```{r} d %>% summarise(sd(iq)) ``` --- Categories: - probability - simulation - normal-distribution - num