Krebs1

bayes

probability

num

Published

November 8, 2023

Aufgabe

Ein Krebstest (\(T\)) habe die Wahrscheinlichkeit von 0.9, einen vorhandenen Krebs (\(K\)) zu erkennen. Diese Wahrscheinlichkeit bezeichnen wir als \(Pr(T+|K+)\). Der Test erkennt also die meisten Krebsfälle, und ein paar werden übersehen.

Manchmal macht der Test auch den umgekehrten Fehler: Ein gesunder Mensch wird fälschlich Krebs diagnostiziert, \(Pr(T+|K-)\). Diese Wahrscheinlichkeit liegt bei dem Test bei 0.1, zum Glück also relativ gering.

Die Grundrate dieser Krebsart belaufe sich in der Population auf 0.01, \(Pr(K+)\).

Aufgabe: Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Patient tatsächlich Krebs hat, wenn der Test positiv ist, also Krebs diagnostiziert hat!

Lösung

Hier kann man Bayes Theorem anwenden:

\(Pr(K|T) = \frac{Pr(K) \cdot Pr(T|K) }{Pr(T)}\).

zaehler_bayes <- Pr_Kpos * Pr_Tpos_geg_Kpos
zaehler_bayes

[1] 0.009

Pr_T <- (zaehler_bayes + (1-Pr_Kpos) * Pr_Tpos_geg_Kneg)
Pr_T

[1] 0.108

sol <- Pr_Kpos_geg_Tpos <- zaehler_bayes / Pr_T 
sol <- round(sol, 2)
sol

[1] 0.08

Die Lösung beträgt also: 0.08.

Hier ist ein Baumdiagramm zur Visualisierung:

flowchart LR
  S[1000 Personen] --> K[Krebs: 10]
  S --> NK[Nicht-Krebs: 990]
  K --> T[Test positiv: 9]
  NK --> NT[Nicht Test positiv: 1]
  NK --> TNK[Test positiv: 99]
  NK --> NTNK[Nicht Test positiv: 891]

Categories:

bayes
probability
num

---
extype: num
exsolution: r sol
exname: Krebs1
expoints: 1
categories:
- bayes
- probability
- num
date: '2023-11-08'
slug: Krebs1
title: Krebs1

---



```{r libs, include = FALSE}
library(tidyverse)
library(exams)
```


```{r global-knitr-options, include=FALSE}
knitr::opts_chunk$set(fig.pos = 'H',
                      fig.asp = 0.618,
                      fig.width = 4,
                      fig.cap = "", 
                      fig.path = "",
                      echo = FALSE,
                      message = FALSE,
                      warning = FALSE,
                      fig.show = "hold",
                     # out.width = "100%",
                      cache = TRUE)
```




```{r}
Pr_Tpos_geg_Kpos <- .9  # Wskt für Test positiv geg. Krebs ist positiv (tatsächlich Krebs)
Pr_Tpos_geg_Kneg <- .1
Pr_Kpos <- .01
```




# Aufgabe

Ein Krebstest ($T$) habe die Wahrscheinlichkeit von ``r Pr_Tpos_geg_Kpos``, einen vorhandenen Krebs ($K$) zu erkennen.
Diese Wahrscheinlichkeit bezeichnen wir als $Pr(T+|K+)$.
Der Test erkennt also die meisten Krebsfälle, und ein paar werden übersehen.

Manchmal macht der Test auch den umgekehrten Fehler: Ein gesunder Mensch wird fälschlich Krebs diagnostiziert, $Pr(T+|K-)$.
Diese Wahrscheinlichkeit liegt bei dem Test bei ``r Pr_Tpos_geg_Kneg``, 
zum Glück also relativ gering.


Die Grundrate dieser Krebsart belaufe sich in der Population auf ``r Pr_Kpos``, $Pr(K+)$.

*Aufgabe*: Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit,
dass ein Patient tatsächlich Krebs hat, wenn der Test positiv ist, also Krebs diagnostiziert hat!



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# Lösung

Hier kann man Bayes Theorem anwenden:

$Pr(K|T) = \frac{Pr(K) \cdot Pr(T|K) }{Pr(T)}$.

```{r echo = TRUE}
zaehler_bayes <- Pr_Kpos * Pr_Tpos_geg_Kpos
zaehler_bayes
Pr_T <- (zaehler_bayes + (1-Pr_Kpos) * Pr_Tpos_geg_Kneg)
Pr_T

sol <- Pr_Kpos_geg_Tpos <- zaehler_bayes / Pr_T 
sol <- round(sol, 2)
sol
```


Die Lösung beträgt also: ``r sol``.


Hier ist ein Baumdiagramm zur Visualisierung:


```{mermaid}
flowchart LR
  S[1000 Personen] --> K[Krebs: 10]
  S --> NK[Nicht-Krebs: 990]
  K --> T[Test positiv: 9]
  NK --> NT[Nicht Test positiv: 1]
  NK --> TNK[Test positiv: 99]
  NK --> NTNK[Nicht Test positiv: 891]
```








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Categories: 

- bayes
- probability
- num