lm-Standardfehler

Exercise

Man kann angeben, wie genau eine Schätzung von Regressionskoeffizienten die Grundgesamtheit widerspiegelt. Zumeist wird dazu der Standardfehler (engl. standard error, SE) verwendet.

In dieser Übung untersuchen wir, wie sich der SE als Funktion der Stichprobengröße, \(n\), verhält.

Erstellen Sie dazu folgenden Datensatz:

library(tidyverse)

n <- 2^4

d <-
  tibble(x = rnorm(n = n),  # im Default: mean = 0, sd = 1
         y = x + rnorm(n, mean = 0, sd = .5))

Hier ist das Ergebnis. Uns interessiert v.a. Std. Error für den Prädiktor x:

lm(y ~ x, data = d) %>% 
summary()

Call:
lm(formula = y ~ x, data = d)

Residuals:
    Min      1Q  Median      3Q     Max 
-0.8039 -0.3986 -0.1500  0.6939  0.8013 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)   0.1610     0.1446   1.114    0.284    
x             1.1144     0.1660   6.711 9.92e-06 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 0.5777 on 14 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.7629,    Adjusted R-squared:  0.746 
F-statistic: 45.04 on 1 and 14 DF,  p-value: 9.919e-06

Hier haben wir eine Tabelle mit zwei Variablen, x und y, definiert mit n=16.

Verdoppeln Sie die Stichprobengröße 5 Mal und betrachten Sie, wie sich die Schätzgenauigkeit, gemessen über den SE, verändert. Berechnen Sie dazu für jedes n eine Regression mit x als Prädiktor und y als AV!

Bei welcher Stichprobengröße ist SE am kleinsten?

Answerlist

• \(2^5\)
• \(2^6\)
• \(2^7\)
• \(2^8\)
• \(2^9\)

Solution

Probieren wir es aus!

Erste Verdopplung, \(n=2^5\):

n <- 2^5

d5 <-
  tibble(x = rnorm(n = n),  # im Default: mean = 0, sd = 1
         y = x + rnorm(n, mean = 0, sd = .5))

lm5 <- lm(y ~ x, data = d5)

lm5 %>% summary()

Call:
lm(formula = y ~ x, data = d5)

Residuals:
     Min       1Q   Median       3Q      Max 
-1.06790 -0.28655 -0.06282  0.25958  1.18567 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept) -0.08955    0.10349  -0.865    0.394    
x            1.01855    0.08561  11.898 6.91e-13 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 0.5155 on 30 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.8251,    Adjusted R-squared:  0.8193 
F-statistic: 141.6 on 1 and 30 DF,  p-value: 6.91e-13

Man kann sich den Standardfehler komfortabler ausgeben lassen, wenn man das Paket broom verwendet:

library(broom)
lm5 %>% 
  tidy()

# A tibble: 2 × 5
  term        estimate std.error statistic  p.value
  <chr>          <dbl>     <dbl>     <dbl>    <dbl>
1 (Intercept)  -0.0896    0.103     -0.865 3.94e- 1
2 x             1.02      0.0856    11.9   6.91e-13

Dann könnte man z.B. die Spalte std.error selektieren und nach term==x filtern:

lm5 %>% 
  tidy() %>% 
  filter(term == "x")  %>% 
  select(std.error) 

# A tibble: 1 × 1
  std.error
      <dbl>
1    0.0856

Jetzt mit den anderen Stichprobengrößen:

n <- 2^6

d <-
  tibble(x = rnorm(n = n),  # im Default: mean = 0, sd = 1
         y = x + rnorm(n, mean = 0, sd = .5))

mein_lm <- lm(y ~ x, data = d)

mein_lm %>% 
  tidy() %>% 
  filter(term == "x")  %>% 
  select(std.error) 

# A tibble: 1 × 1
  std.error
      <dbl>
1    0.0580

n <- 2^7

d <-
  tibble(x = rnorm(n = n),  # im Default: mean = 0, sd = 1
         y = x + rnorm(n, mean = 0, sd = .5))

mein_lm <- lm(y ~ x, data = d)

mein_lm %>% 
  tidy() %>% 
  filter(term == "x")  %>% 
  select(std.error) 

# A tibble: 1 × 1
  std.error
      <dbl>
1    0.0388

n <- 2^8

d <-
  tibble(x = rnorm(n = n),  # im Default: mean = 0, sd = 1
         y = x + rnorm(n, mean = 0, sd = .5))

mein_lm <- lm(y ~ x, data = d)

mein_lm %>% 
  tidy() %>% 
  filter(term == "x")  %>% 
  select(std.error) 

# A tibble: 1 × 1
  std.error
      <dbl>
1    0.0325

n <- 2^9

d <-
  tibble(x = rnorm(n = n),  # im Default: mean = 0, sd = 1
         y = x + rnorm(n, mean = 0, sd = .5))

mein_lm <- lm(y ~ x, data = d)

mein_lm %>% 
  tidy() %>% 
  filter(term == "x")  %>% 
  select(std.error) 

# A tibble: 1 × 1
  std.error
      <dbl>
1    0.0216

Answerlist

• Falsch
• Falsch
• Falsch
• Falsch
• Wahr. Die größte Stichprobe impliziert den kleinsten SE, ceteris paribus.

---

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• inference
• lm
• qm2