Lose-Nieten-Binomial-Grid

probability
binomial
Published

October 28, 2022

Exercise

In einer Lostrommel befinden sich “sehr viele” Lose, davon ein Anteil \(p\) Treffer (und \(1-p\) Nieten), mit zunächst \(p=0.01\).

Sie kaufen \(n=10\) Lose.

  1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für genau \(k=0,1,...,10\) Treffer?
  2. Sagen wir, Sie haben 3 Treffer in den 10 Losen. Yeah! Jetzt sei \(p\) unbekannt und Sie sind indifferent zu den einzelnen Werten von \(p\). Visualisieren Sie die Posteriori-Wahrscheinlichkeitsverteilung mit ca. 100 Gridwerten. Was beobachten Sie?
  3. Variieren Sie \(n\), aber halten Sie die Trefferquote bei 1/3. Was beobachten Sie?

Nutzen Sie die Gittermethode. Treffen Sie Annahmen, wo nötig.











Solution

  1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für genau \(k=0,1,...,10\) Treffer?
d_a <- 
  tibble(
    k = 0:10,
    wskt = dbinom(k, size = 10, prob = .01))

d_a %>% 
  ggplot() +
  aes(x = k, y = wskt) +
  geom_point() +
  geom_line() +
  scale_x_continuous(breaks = 1:10)

k wskt
0 9.04 × 10−1
1 9.14 × 10−2
2 4.15 × 10−3
3 1.12 × 10−4
4 1.98 × 10−6
5 2.40 × 10−8
6 2.02 × 10−10
7 1.16 × 10−12
8 4.41 × 10−15
9 9.90 × 10−18
10 1.00 × 10−20
  1. Sagen wir, Sie haben 3 Treffer in den 10 Losen. Yeah! Jetzt sei \(p\) unbekannt und Sie sind indifferent zu den einzelnen Werten von \(p\). Visualisieren Sie die Posteriori-Wahrscheinlichkeitsverteilung mit ca. 100 Gridwerten. Was beobachten Sie?
d2 <-
  tibble(
    p_grid = seq(0, 1, by = 0.01),
    prior = 1,
    Likelihood = dbinom(x = 3, size = 10, prob = p_grid),
    unstand_post = prior * Likelihood,
    std_post = unstand_post / sum(unstand_post)
  )

d2 %>% 
  ggplot() +
  aes(x = p_grid, y = std_post) +
  geom_point() +
  geom_line()

Der Modus liegt bei ca 1/3. Der Bereich plausibler Werte für \(p\) liegt ca. zwischen 0.1 und und 0.7, grob visuell geschätzt. Mehr dazu später.

  1. Variieren Sie \(n\), aber halten Sie die Trefferquote bei 1/3. Was beobachten Sie?
# n = 2
d3 <-
  tibble(
    p_grid = seq(0,1, by = 0.01),
    prior = 1,
    Likelihood = dbinom(x = 2, size = 6, prob = p_grid),
    unstand_post = prior * Likelihood,
    std_post = unstand_post / sum(unstand_post)
  )

d3 %>% 
  ggplot() +
  aes(x = p_grid, y = std_post) +
  geom_point() +
  geom_line() +
  labs(title = "n=20")


# n = 20
d4 <-
  tibble(
    p_grid = seq(0,1, by = 0.01),
    prior = 1,
    Likelihood = dbinom(x = 20, size = 60, prob = p_grid),
    unstand_post = prior * Likelihood,
    std_post = unstand_post / sum(unstand_post)
  )

d4 %>% 
  ggplot() +
  aes(x = p_grid, y = std_post) +
  geom_point() +
  geom_line() +
  labs(title = "n = 20")

# n = 200
d5 <-
  tibble(
    p_grid = seq(0,1, by = 0.01),
    prior = 1,
    Likelihood = dbinom(x = 200, size = 600, prob = p_grid),
    unstand_post = prior * Likelihood,
    std_post = unstand_post / sum(unstand_post)
  )

d5 %>% 
  ggplot() +
  aes(x = p_grid, y = std_post) +
  geom_point() +
  geom_line() +
  labs(title = "n = 20")

Der Modus und andere Maße der zentralen Tendenz bleiben gleich; die Streuung wird geringer.

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