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# gleich diese Datei in einem Ordner mit Namen der Aufgabe abspeichern!
date: 2025-06-27
draft: FALSE # ACHTUNG DRAFT STEHT AUF TRUE!
title: streuung-post2 # HIER TITEL DES POSTS EINGEBEN.
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- bayes # ENTER CATEGORIES HERE
bibliography: "../../library-ses.bib"
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# Aufgabe
Ein Fitnesstrainer behauptet, der Effekt einer Stunde Joggen läge bei "etwa 500 bis 600" kcal.
Der Fitnesstrainer erklärt, dass er sich auf einen erwachsenen Mann mit ca. 80 kg Körpergewicht bezieht und eine mittleren Geschwindigkeit von ca. 8-9 km/h.
Unter der Annahme, dass der Effekt existiert, normalverteilt ist
und dass der oben angeführte Wertebereich dem 95%-ETI
einer Posterior-Verteilung entspricht:
**Wie groß ist die Streuung der Posterior-Verteilung?**
Hinweise:
- Beachten Sie die üblichen [Hinweise](https://datenwerk.netlify.app/hinweise) des Datenwerks.
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# Lösung
Für eine Normalverteilung N(μ, σ²) gilt:
Das 2,5%-Quantil liegt bei μ - 1,96σ
Das 97,5%-Quantil liegt bei μ + 1,96σ
Daraus folgt:
500 = μ - 1,96σ
600 = μ + 1,96σ
Aus den beiden Gleichungen:
Differenz: 600 - 500 = 100 = 2 × 1,96σ
Daher: σ = 100 / (2 × 1,96) = 100 / 3,92 ≈ 25,5 kcal
Mittelwert:
μ = (500 + 600) / 2 = 550 kcal
Antwort:
Die Streuung (Standardabweichung) der Posterior-Verteilung beträgt etwa 25,5 kcal.
Interpretation:
Bei einer Normalverteilung mit μ = 550 kcal und σ = 25,5 kcal liegen 95% der Werte zwischen 500 und 600 kcal,
was genau dem angegebenen 95%-ETI entspricht.
```{r}
#| echo: false
#| message: false
library(tidyverse)
# Parameter der Normalverteilung
mu <- 550 # Mittelwert
sigma <- 25.5 # Standardabweichung
# Daten für die Normalverteilung generieren
x <- seq(450, 650, length.out = 1000)
y <- dnorm(x, mean = mu, sd = sigma)
# DataFrame erstellen
df <- data.frame(x = x, y = y)
# 95%-ETI Grenzen
lower_bound <- 500
upper_bound <- 600
# Daten für die Füllung des 95%-ETI
df_fill <- df %>%
filter(x >= lower_bound & x <= upper_bound)
# Hauptplot erstellen
p <- ggplot(df, aes(x = x, y = y)) +
# Normalverteilungskurve
geom_line(color = "blue", size = 1.2) +
# 95%-ETI Bereich füllen
geom_area(data = df_fill,
aes(x = x, y = y),
fill = "blue",
alpha = 0.3) +
# Vertikale Linien für ETI-Grenzen
geom_vline(xintercept = lower_bound,
color = "red",
linetype = "dashed",
size = 1) +
geom_vline(xintercept = upper_bound,
color = "red",
linetype = "dashed",
size = 1) +
# Mittelwert-Linie
geom_vline(xintercept = mu,
color = "darkgreen",
linetype = "dashed",
size = 1) +
# Beschriftungen
labs(
title = "Posterior-Verteilung: Kalorienverbrauch beim Joggen",
subtitle = paste("N(", mu, ", ", sigma, "²) - 95%-ETI: [", lower_bound, ", ", upper_bound, "] kcal"),
x = "Kalorienverbrauch [kcal]",
y = ""
) +
# Theme anpassen
theme_minimal() +
theme(
plot.title = element_text(size = 14, face = "bold"),
plot.subtitle = element_text(size = 12),
axis.title = element_text(size = 12),
axis.text = element_text(size = 10),
axis.text.y = element_blank()
) +
# Achsenbegrenzungen
xlim(450, 650) +
ylim(0, max(y) * 1.1)
# Annotationen hinzufügen
p <- p +
# Beschriftung der Grenzen
annotate("text", x = lower_bound, y = max(y) * 0.7,
label = paste(lower_bound, "kcal"),
color = "red", hjust = -0.1, size = 3.5) +
annotate("text", x = upper_bound, y = max(y) * 0.9,
label = paste(upper_bound, "kcal"),
color = "red", hjust = 1.1, size = 3.5) +
annotate("text", x = mu, y = max(y) * 0.8,
label = paste("μ =", mu, "kcal"),
color = "darkgreen", hjust = -0.1, size = 3.5) +
# 95%-ETI Beschriftung
annotate("text", x = mu, y = max(y) * 0.5,
label = "95%-ETI",
color = "blue", size = 4, fontface = "bold") +
# Seitliche Bereiche (je 2.5%)
annotate("text", x = 470, y = max(y) * 0.1,
label = "2.5%",
color = "gray50", size = 3) +
annotate("text", x = 630, y = max(y) * 0.1,
label = "2.5%",
color = "gray50", size = 3)
p
```
