totale-Wskt1

R

probability

bayes

num

Published

November 8, 2023

Aufgabe

Was ist die Wahrscheinlichkeit, bei einem Krebstest ein positives Testergebnis (Ereignis \(T\)) zu bekommen?

Es gibt zwei Möglichkeiten für ein positives Testergebnis: Wenn man Krebs hat (\(K\)) und wenn man nicht Krebs hat (\(\neg K\)).

\(Pr(T|K) = 9/10\), das ist die “Krebs-Erkenn-Sicherheit” des Tests.

\(Pr(T|\neg K) = 99/891\), das ist die “Fehlalarm-Quote” des Tests.

Die Grundrate von Krebs sei \(Pr(K) = .01\).

Hinweise:

Orientieren Sie sich im Übrigen an den allgemeinen Hinweisen des Datenwerks.

Lösung

Die Ereignisse \(K\) und K$ bilden ein vollständiges Ereignissystem. Daher ist der Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit anzuwenden.

\(Pr(T) = Pr(T|K) \cdot Pr(K) + Pr(T| \neg K) \cdot Pr(\neg K)\).

Pr_T_geg_K <- 9/10
Pr_K <- .01
Pr_NK <- 1 - Pr_K  # Wskt für Nicht-Krebs
Pr_T_geg_NK <- 99/891  # ca. 10 Fehlerrate
Pr_T <- Pr_T_geg_K * Pr_K + Pr_T_geg_NK * Pr_NK
Pr_T

[1] 0.119

Die Lösung lautet 0.119.

Categories:

R
probability
bayes
num

---
exname: totale-Wskt1
extype: num
exsolution: r exams::fmt(sol)
exshuffle: no
extol: r sol_tol
expoints: 1
categories:
- R
- probability
- bayes
- num
date: '2023-11-08'
slug: totale-Wskt1
title: totale-Wskt1

---



```{r global-knitr-options, include=FALSE, message=FALSE}
knitr::opts_chunk$set(fig.pos = 'H',
                      fig.asp = 0.618,
                      fig.width = 4,
                      fig.cap = "", 
                      fig.path = "",
                      echo = TRUE,
                      message = FALSE,
                      warning = FALSE,
                      fig.show = "hold")
```







# Aufgabe

Was ist die Wahrscheinlichkeit, bei einem Krebstest ein positives Testergebnis (Ereignis $T$) zu bekommen?

Es gibt zwei Möglichkeiten für ein positives Testergebnis: Wenn man Krebs hat ($K$) und wenn man nicht Krebs hat ($\neg K$).

$Pr(T|K) = 9/10$, das ist die "Krebs-Erkenn-Sicherheit" des Tests.

$Pr(T|\neg K) = 99/891$, das ist die "Fehlalarm-Quote" des Tests.

Die Grundrate von Krebs sei $Pr(K) = .01$.



Hinweise:

- Orientieren Sie sich im Übrigen an den [allgemeinen Hinweisen des Datenwerks](https://datenwerk.netlify.app/hinweise).




</br>
</br>
</br>
</br>
</br>
</br>
</br>
</br>
</br>
</br>

# Lösung

Die Ereignisse $K$ und \neg K$ bilden ein *vollständiges Ereignissystem*.
Daher ist der Satz von der *totalen Wahrscheinlichkeit* anzuwenden.

$Pr(T) = Pr(T|K) \cdot Pr(K) + Pr(T| \neg K) \cdot Pr(\neg K)$.


```{r}
Pr_T_geg_K <- 9/10
Pr_K <- .01
Pr_NK <- 1 - Pr_K  # Wskt für Nicht-Krebs
Pr_T_geg_NK <- 99/891  # ca. 10 Fehlerrate
Pr_T <- Pr_T_geg_K * Pr_K + Pr_T_geg_NK * Pr_NK
Pr_T
```


```{r}
#| echo: false
sol <- Pr_T
```


Die Lösung lautet ``r sol``.







---

Categories: 

- R
- probability
- bayes
- num