wuerfel02

probability

dice

Published

October 28, 2022

Exercise

Was ist die Wahrscheinlichkeit, mit zwei fairen Würfeln mindestens 10 Augen zu werfen?

Hinweise:

Nutzen Sie exakte Methoden der Wahrscheinlichkeitsrechnung, keine Simulation.
Geben Sie Anteile oder Wahrscheinlichkeiten stets mit zwei Dezimalstellen an (sofern nicht anders verlangt).

Solution

Erstellen wir uns eine Tabelle, die alle Permutationen der beiden Würfelergebnisse fasst, das sind 36 Paare: (1,1), (1,2), …, (1,6), …, (6,6).

Das kann man von Hand erstellen, halbautomatisch in Excel oder z.B. so:

library(tidyverse)
d <- expand_grid(wuerfel1 = 1:6,
         wuerfel2 = 1:6)

d

# A tibble: 36 × 2
   wuerfel1 wuerfel2
      <int>    <int>
 1        1        1
 2        1        2
 3        1        3
 4        1        4
 5        1        5
 6        1        6
 7        2        1
 8        2        2
 9        2        3
10        2        4
# ℹ 26 more rows

Jetzt ergänzen wir eine Spalte für die Wahrscheinlichkeit jeder Kombination, das ist einfach, denn \(p(A \cap B) = p(A) \cdot p(B) = 1/36\) gilt.

d2 <-
  d %>% 
  mutate(prob = 1/36)

head(d2)

# A tibble: 6 × 3
  wuerfel1 wuerfel2   prob
     <int>    <int>  <dbl>
1        1        1 0.0278
2        1        2 0.0278
3        1        3 0.0278
4        1        4 0.0278
5        1        5 0.0278
6        1        6 0.0278

Außerdem ergänzen wir die Summe der Augenzahlen, weil die Frage ja nach einer bestimmten Summe an Augenzahlen abzielt.

d3 <-
  d2 %>% 
  mutate(augensumme = wuerfel1 + wuerfel2)

head(d3)

# A tibble: 6 × 4
  wuerfel1 wuerfel2   prob augensumme
     <int>    <int>  <dbl>      <int>
1        1        1 0.0278          2
2        1        2 0.0278          3
3        1        3 0.0278          4
4        1        4 0.0278          5
5        1        5 0.0278          6
6        1        6 0.0278          7

Für manche Augensummen gibt es mehrere Möglichkeiten:

d3 %>% 
  filter(augensumme == 7)

# A tibble: 6 × 4
  wuerfel1 wuerfel2   prob augensumme
     <int>    <int>  <dbl>      <int>
1        1        6 0.0278          7
2        2        5 0.0278          7
3        3        4 0.0278          7
4        4        3 0.0278          7
5        5        2 0.0278          7
6        6        1 0.0278          7

… für andere weniger:

d3 %>% 
  filter(augensumme == 12)

# A tibble: 1 × 4
  wuerfel1 wuerfel2   prob augensumme
     <int>    <int>  <dbl>      <int>
1        6        6 0.0278         12

Jetzt summieren wir (nach dem Additionssatz der Wahrscheinlichkeit) die Wahrscheinlichkeiten pro Augenzahl:

d4 <- 
  d3 %>% 
  group_by(augensumme) %>% 
  summarise(totale_w_pro_augenzahl = sum(prob))

d4

# A tibble: 11 × 2
   augensumme totale_w_pro_augenzahl
        <int>                  <dbl>
 1          2                 0.0278
 2          3                 0.0556
 3          4                 0.0833
 4          5                 0.111 
 5          6                 0.139 
 6          7                 0.167 
 7          8                 0.139 
 8          9                 0.111 
 9         10                 0.0833
10         11                 0.0556
11         12                 0.0278

Test: Die Summe der Wahrscheinlichkeit muss insgesamt 1 sein.

d4 %>% 
  summarise(sum(totale_w_pro_augenzahl))

# A tibble: 1 × 1
  `sum(totale_w_pro_augenzahl)`
                          <dbl>
1                             1

Und:

d2 %>% 
  summarise(sum(prob))

# A tibble: 1 × 1
  `sum(prob)`
        <dbl>
1           1

Passt!

Die Wahrscheinlichkeit für die Augensumme von mind. 10 beträgt also:

loesung <-
  d4 %>% 
  filter(augensumme >= 10) %>% 
  summarise(prob_sum = sum(totale_w_pro_augenzahl)) %>% 
  pull(prob_sum)

loesung

[1] 0.1666667

Categories:

probability
dice