alphafehler-inflation3

probability

inference

num

Published

November 8, 2023

Aufgabe

Eine Klettererin verwendet ein Seil, dass eine Sicherheit von $r = .99$ hat: mit einer Wahrscheinlichkeit von 1% reißt das Seil. Jetzt knüpft sie mehrere dieser Seile (hintereinander, Seil an Seil) zusammen zu einem “Gesamtseil”. Wie groß ist die Gefahr, dass das „Gesamtseil“ reist?

Hinweise:

Etwaige (physikalisch plausible) Verringerung der Zugfestigkeit durch (Seilbiegung aufgrund der) Knoten ist zu vernachlässigen.
Sie knüpft 10 Seile zusammen.
Beachten Sie die sonstigen Hinweise auf dem Datenwerk.
Unterstellen Sie Unabhängkeit der einzelnen Ereignisse.

Lösung

Sei $R$ die Wahrscheinlichkeit, dass das Gesamtseil hält (nicht reißt). $1 - R$ ist dann die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses: das Gesamtseil reißt.

Allgemein ist $R$ bei $k$ Tests (Seilen) gleich $r$ hoch $k$ : $R = r^{k}$ . (Das Aufaddieren der Fehlalarm-Wahrscheinlichkeit bezeichnet man als Alphafehler-Inflation.)

r <- .99  #  Reißfestigkeit des einfaches Seils
R10 <- r^10  %>% round(2)  # Reißfestigkeit des 10-fachen Seils

Die Gesamtsicherheit lauten also:

R10

[1] 0.9

Die Antwort (solution) ist aber $1 - R$ :

solution <- 1-R10
solution

[1] 0.1

Vertiefung

Betrachten wir abschließend aus Neugier die Wahrscheinlichkeit, dass die Klettererin abstürzt ( $1 - R$ ) als Funktion der Anzahl der Seie.

Diese Überlegung ist etwas weiterführender und nicht ganz so zentral, aber ziemlich interessant.

Definieren wir die Parameter:

anz_seile <- 1:20  # von 1 bis max 20 Seile
r <- c(.9, .95, .99, .999)  # verschiedene Seil-Sicherheiten

Jetzt erstellen wir einen Tabelle, die alle anz_seile * r Werte kombiniert:

d <- 
  expand_grid(anz_seile, r)

head(d)

# A tibble: 6 × 2
  anz_seile     r
      <int> <dbl>
1         1 0.9  
2         1 0.95 
3         1 0.99 
4         1 0.999
5         2 0.9  
6         2 0.95

Jetzt berechnen wir für jede Kombination die Gesamtsicherheit R sowie die Wahrscheinlichkeit, dass das Seil reißt, $1 - R$ :

d <-
  d %>% 
  mutate(R = r^anz_seile,
         seil_reisst_prob = 1 - R)

plotten das Ganze mit dem Paket ggpubr:

library(ggpubr)
d <-
  d |> 
  mutate(r_fctr = factor(r))  # um "r" zum Gruppieren zu verwenden, sollte es eine nominale Variable sein, daher wandeln wir mit "factor" in eine nominale Variable um.

ggline(d,
       x = "anz_seile",
       y = "seil_reisst_prob",
       color = "r_fctr",
       linetype = "r_fctr",
       group = "r_fctr") +
  labs(color = "Reißfestigkeit",
       linetype = "Reißfestigkeit")

Oder mit ggplot plotten:

d %>% 
  ggplot(aes(x = anz_seile,
             y = seil_reisst_prob,
             color = factor(r))) +
  geom_line() +
  labs(color = "Reißfestigkeit")

Hat ein Seil eine Sicherheit von 90%, dann will man nicht dranhängen, wenn 20 Seile zusammengeknotet sind!

Die Antwort lautet:

$R_{10} = 1 - r^{10} = 1 - 0.9 = 0.1$

Categories:

probability
R
inference
num

--- extype: num exsolution: r R10 exclozetype: num exname: alphafehler-inflation3 extol: 0.02 categories: - probability - R - inference - num date: '2023-11-08' slug: alphafehler-inflation3 title: alphafehler-inflation3 --- ```{r global-knitr-options, include=FALSE, message=FALSE} knitr::opts_chunk$set(fig.pos = 'H', fig.asp = 0.618, fig.width = 4, fig.cap = "", fig.path = "", echo = TRUE, message = FALSE, fig.show = "hold") library(tidyverse) ``` # Aufgabe Eine Klettererin verwendet ein Seil, dass eine Sicherheit von $r=.99$ hat: mit einer Wahrscheinlichkeit von 1% reißt das Seil. Jetzt knüpft sie mehrere dieser Seile (hintereinander, Seil an Seil) zusammen zu einem "Gesamtseil". Wie groß ist die Gefahr, dass das „Gesamtseil“ reist? Hinweise: - Etwaige (physikalisch plausible) Verringerung der Zugfestigkeit durch (Seilbiegung aufgrund der) Knoten ist zu vernachlässigen. - Sie knüpft 10 Seile zusammen. - Beachten Sie die [sonstigen Hinweise auf dem Datenwerk](https://datenwerk.netlify.app/hinweise). - Unterstellen Sie Unabhängkeit der einzelnen Ereignisse. # Lösung Sei $R$ die Wahrscheinlichkeit, dass das Gesamtseil hält (nicht reißt). $1-R$ ist dann die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses: das Gesamtseil reißt. Allgemein ist $R$ bei $k$ Tests (Seilen) gleich $r$ hoch $k$: $R=r^k$. (Das Aufaddieren der Fehlalarm-Wahrscheinlichkeit bezeichnet man als Alphafehler-Inflation.) ```{r echo = TRUE} r <- .99 # Reißfestigkeit des einfaches Seils R10 <- r^10 %>% round(2) # Reißfestigkeit des 10-fachen Seils ``` Die Gesamtsicherheit lauten also: ```{r} R10 ``` Die Antwort (`solution`) ist aber $1-R$: ```{r} solution <- 1-R10 solution ``` # Vertiefung Betrachten wir abschließend aus Neugier die Wahrscheinlichkeit, dass die Klettererin abstürzt ($1-R$) als Funktion der Anzahl der Seie. Diese Überlegung ist etwas weiterführender und nicht ganz so zentral, aber ziemlich interessant. Definieren wir die Parameter: ```{r echo = TRUE} anz_seile <- 1:20 # von 1 bis max 20 Seile r <- c(.9, .95, .99, .999) # verschiedene Seil-Sicherheiten ``` Jetzt erstellen wir einen Tabelle, die alle `anz_seile * r` Werte kombiniert: ```{r} d <- expand_grid(anz_seile, r) head(d) ``` Jetzt berechnen wir für jede Kombination die Gesamtsicherheit `R` sowie die Wahrscheinlichkeit, dass das Seil reißt, $1-R$: ```{r} d <- d %>% mutate(R = r^anz_seile, seil_reisst_prob = 1 - R) ``` plotten das Ganze mit dem Paket `ggpubr`: ```{r} library(ggpubr) d <- d |> mutate(r_fctr = factor(r)) # um "r" zum Gruppieren zu verwenden, sollte es eine nominale Variable sein, daher wandeln wir mit "factor" in eine nominale Variable um. ggline(d, x = "anz_seile", y = "seil_reisst_prob", color = "r_fctr", linetype = "r_fctr", group = "r_fctr") + labs(color = "Reißfestigkeit", linetype = "Reißfestigkeit") ``` Oder mit `ggplot` plotten: ```{r} d %>% ggplot(aes(x = anz_seile, y = seil_reisst_prob, color = factor(r))) + geom_line() + labs(color = "Reißfestigkeit") ``` Hat ein Seil eine Sicherheit von 90%, dann will man nicht dranhängen, wenn 20 Seile zusammengeknotet sind! Die Antwort lautet: * $R_{10}= 1-r^{10} = 1 - `r R10` = `r solution`$ --- Categories: - probability - R - inference - num