lm-standardfehler

inference
lm
qm2
Published

September 4, 2022

Exercise

Man kann angeben, wie genau eine Schätzung von Regressionskoeffizienten die Grundgesamtheit widerspiegelt. Zumeist wird dazu der Standardfehler (engl. standard error, SE) verwendet.

In dieser Übung untersuchen wir, wie sich der SE als Funktion der Stichprobengröße, \(n\), verhält.

Erstellen Sie dazu folgenden Datensatz:

library(tidyverse)

n <- 2^4

d <-
  tibble(x = rnorm(n = n),  # im Default: mean = 0, sd = 1
         y = x + rnorm(n, mean = 0, sd = .5))

Hier ist das Ergebnis. Uns interessiert v.a. Std. Error für den Prädiktor x:

lm(y ~ x, data = d) %>% 
summary()

Call:
lm(formula = y ~ x, data = d)

Residuals:
    Min      1Q  Median      3Q     Max 
-0.8758 -0.3004 -0.1946  0.2529  1.3000 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)  -0.1422     0.1561  -0.911    0.378    
x             0.9546     0.1317   7.251 4.22e-06 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 0.5976 on 14 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.7897,    Adjusted R-squared:  0.7747 
F-statistic: 52.58 on 1 and 14 DF,  p-value: 4.216e-06

Hier haben wir eine Tabelle mit zwei Variablen, x und y, definiert mit n=16.

Verdoppeln Sie die Stichprobengröße 5 Mal und betrachten Sie, wie sich die Schätzgenauigkeit, gemessen über den SE, verändert. Berechnen Sie dazu für jedes n eine Regression mit x als Prädiktor und y als AV!

Bei welcher Stichprobengröße ist SE am kleinsten?

Answerlist

  • \(2^5\)
  • \(2^6\)
  • \(2^7\)
  • \(2^8\)
  • \(2^9\)











Solution

Probieren wir es aus!

Erste Verdopplung, \(n=2^5\):

n <- 2^5

d5 <-
  tibble(x = rnorm(n = n),  # im Default: mean = 0, sd = 1
         y = x + rnorm(n, mean = 0, sd = .5))

lm5 <- lm(y ~ x, data = d5)

lm5 %>% summary()

Call:
lm(formula = y ~ x, data = d5)

Residuals:
     Min       1Q   Median       3Q      Max 
-0.68722 -0.43286 -0.07974  0.38128  1.62001 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept) -0.07923    0.09254  -0.856    0.399    
x            1.11837    0.11377   9.830 6.81e-11 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 0.5181 on 30 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.7631,    Adjusted R-squared:  0.7552 
F-statistic: 96.63 on 1 and 30 DF,  p-value: 6.812e-11

Man kann sich den Standardfehler komfortabler ausgeben lassen, wenn man das Paket easystats verwendet:

library(easystats)
lm5 %>% 
  parameters()
Parameter Coefficient SE CI CI_low CI_high t df_error p
(Intercept) -0.0792257 0.0925390 0.95 -0.2682155 0.1097641 -0.8561335 30 0.3987108
x 1.1183739 0.1137728 0.95 0.8860189 1.3507289 9.8298902 30 0.0000000

Jetzt mit den anderen Stichprobengrößen:

n <- 2^6

d <-
  tibble(x = rnorm(n = n),  # im Default: mean = 0, sd = 1
         y = x + rnorm(n, mean = 0, sd = .5))

mein_lm <- lm(y ~ x, data = d)

mein_lm %>% 
  parameters
Parameter Coefficient SE CI CI_low CI_high t df_error p
(Intercept) 0.0179108 0.075495 0.95 -0.1330015 0.1688232 0.237245 62 0.8132489
x 1.0192013 0.070361 0.95 0.8785517 1.1598509 14.485316 62 0.0000000 
n <- 2^7

d <-
  tibble(x = rnorm(n = n),  # im Default: mean = 0, sd = 1
         y = x + rnorm(n, mean = 0, sd = .5))

mein_lm <- lm(y ~ x, data = d)

mein_lm %>% 
  parameters()
Parameter Coefficient SE CI CI_low CI_high t df_error p
(Intercept) -0.0283003 0.0418013 0.95 -0.1110239 0.0544232 -0.6770198 126 0.4996344
x 1.0038115 0.0423511 0.95 0.9200000 1.0876230 23.7021619 126 0.0000000 
n <- 2^8

d <-
  tibble(x = rnorm(n = n),  # im Default: mean = 0, sd = 1
         y = x + rnorm(n, mean = 0, sd = .5))

mein_lm <- lm(y ~ x, data = d)

mein_lm %>% 
  parameters()
Parameter Coefficient SE CI CI_low CI_high t df_error p
(Intercept) 0.0431977 0.0290556 0.95 -0.0140228 0.1004182 1.486728 254 0.1383268
x 1.0565355 0.0278379 0.95 1.0017129 1.1113581 37.953072 254 0.0000000 
n <- 2^9

d <-
  tibble(x = rnorm(n = n),  # im Default: mean = 0, sd = 1
         y = x + rnorm(n, mean = 0, sd = .5))

mein_lm <- lm(y ~ x, data = d)

mein_lm %>% 
  parameters()
Parameter Coefficient SE CI CI_low CI_high t df_error p
(Intercept) 0.0508174 0.0212192 0.95 0.0091296 0.0925052 2.39488 510 0.0169857
x 0.9834259 0.0210561 0.95 0.9420586 1.0247932 46.70508 510 0.0000000

Answerlist

  • Falsch
  • Falsch
  • Falsch
  • Falsch
  • Wahr. Die größte Stichprobe impliziert den kleinsten SE, ceteris paribus.

Categories:

  • inference
  • lm
  • qm2