prob-vereinigung

1 Aufgabe

 Folgende Wahrscheinlichkeiten zweier Ereignisse (A und B) seien gegeben:

A: 70%

B: 40%

AB: 30% (gemeinsame Wahrscheinlichkeit)

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eines der beiden Ereignisse eintritt?

Hinweise:

• Beachten Sie die üblichen Hinweise des Datenwerks.

2 Lösung

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass mindestens eines der beiden Ereignisse (A oder B) eintritt, verwenden wir die Formel für die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung zweier Ereignisse:

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$$

$$\begin{array}{rl}P(A\cup B)& =P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\ & =0,70+0,40-0,30\\ & =1,10-0,30\\ & =0,80\end{array}$$

Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eines der beiden Ereignisse eintritt, beträgt 80%.

3 Lösung mit R

Gegeben:

pr_A <- .6
pr_B <- .3
pr_AB <- .2

Gesucht:

$Pr(A\cup B)$

Lösung:

pr_AorB <- pr_A + pr_B - pr_AB
pr_AorB

[1] 0.7

4 Alternative Berechnung

Eine alternative Methode zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eines der beiden Ereignisse eintritt, besteht darin, die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass keines der Ereignisse eintritt, und diese von 1 zu subtrahieren.

Die Wahrscheinlichkeit, dass keines der Ereignisse eintritt, ist:

pr_notA <- 1 - pr_A
pr_notB <- 1 - pr_B
pr_notA_and_notB <- pr_notA * pr_notB
pr_notA_and_notB

[1] 0.28

Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eines der Ereignisse eintritt, ist dann:

pr_AorB_alt <- 1 - pr_notA_and_notB
pr_AorB_alt

[1] 0.72

Beide Methoden führen zum gleichen Ergebnis: Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eines der beiden Ereignisse eintritt, beträgt 80%.